파고파고

(이)중적분 Double Integration은, 단순히 적분을 두 차례 해주는 연산이라 생각하면 된다. 연산순서의 경우, 함수에서 가까운 순서대로 (안쪽부터) 진행한다. $$\int_{a}^{b}\int_{c}^{d}f(x)·g(y)\ dx \ dy$$ x에 대해 c~d의 범위에서 적분한 후, y에 대해 a~b의 범위에서 적분한다고 생각하면 된다. 곱함수의 적분연산 단순히 적분을 두 번 계산하는 것이지만, 계산이 굉장이 복잡해질 가능성이 있다. 함수가 두 변수의 곱으로 나타내어질 수 있는 경우, 아래와 같이 정리되어질 수 있다. $$\int_{a}^{b}\int_{c}^{d}f(x)·g(y)\ dx \ dy$$ $$=(\int_{c}^{d}f(x)dx)·(\int_{a}^{b}g(y)dy)$$

Equation of Tangent Plane $$F_{x}(x_{0}, y_{0}, z_{0})(x-x_{0})+F_{y}(x_{0}, y_{0}, z_{0})(y-y_{0})+F_{z}(x_{0}, y_{0}, z_{0})(z-z_{0}) = 0$$ 외우자. Symmetric Equation of Normal Line 위의 Tangent Plane을 Symmetric Equation의 형태로 표현한 것이다. $${x-x_{0}\over F_{x}(x_{0}, y_{0}, z_{0})} = {y-y_{0}\over F_{y}(x_{0}, y_{0}, z_{0})} = {z-z_{0}\over F_{z}(x_{0}, y_{0}, z_{0})}$$

다변수함수에서 미분, 순간변화율과 관련한 여러 개념들과 규칙들을 살펴보자. Differentials $$dz = f_{x}(x, y)dx + f_{y}(x,y)dy$$ 이전 포스팅에서, Linear Function과 굉장히 유사한 모습임을 확인할 수 있다. Increments $$△z = f(a+△x, b+△y)-f(a, b)$$ differential과 유사해보이지만, z값의 차를 의미한다는 점에서 구분이 반드시 필요하다. Chain Rules 합성함수의 미분이라 생각하면 된다. 아래 case들을 보면서 감을 잡아보자. case 1) $${dz \over dt} = {dz \over dx}·{dx \over dt}+{dz \over dy}·{dy \over dt}$$ case 2) $${∂z \over..

Equation of Tangent Plane $$z-z_{0} = f_{x}(x_{0}, y_{0})(x-x_{0})+f_{y}(x_{0}, y_{0})(y-y_{0})$$ Linear Function, Linearlization $$z = f(a, b)+f_{x}(a, b)(x-a)+f_{y}(a, b)(y-b)$$ z가 위의 식일 때, Linear Function은 아래와 같이 표현된다. $$L(x, y) = f(a, b)+f_{x}(a, b)(x-a)+f_{y}(a, b)(y-b)$$ 이때, f를 L에 근사시키는 것 (f(x, y) ≒ L(x, y)) 을 Linear Approximation이라고 한다. +) f' 가 연속일 때, f가 미분가능하다고 말할 수 있다.

독립변수가 둘 이상인 함수를 다변수함수(Functions of Several Variables)라고 한다. 다변수 함수의 예 아래 다변수함수의 예시들을 살펴보면서 다변수함수에 대한 감을 잡아보자. 체감온도 함수 W(T, v) 실제 온도(T)와 바람의 속도(v)를 변수로 하여 체감온도를 구할 수 있는 함수다. 그래프 z = f(x, y), where (x, y) in D 독립변수가 둘이다. 선형 함수(Linear Function) z = ax + by + c 또는 ax + by - z + c = 0 역시 독립변수가 둘이다. Level Curves f(x, y) = k, where k = 상수 이 Level Curve들을 합쳐놓은 것이 Contour Map이다. 다변수 함수의 극한 $$\lim_{(x, y)..

Unit Normal Vector Unit Normal Vector는 Tangent Vector의 미분함수 중 그 크기가 1인 벡터를 의미한다. $$N(t) = {T'(t)\over |T'(t)|}$$ Binomial Vector Binomial Vector는, Tnagent Vector와 Normal Vector를 외적한 벡터이다. $$B(t) = T(t)×N(t)$$ $$||B(t)|| = ||T(t)|| × ||N(t)|| sin \theta$$ 관련 개념들 ※ Osculating Plane Tangent Vector와 Normal Vector로 이루어진 평면(plane)이다. Curve를 포함하는 plane이라고 생각하면 된다. ※ Circle of Curvature(= Osculating Cir..

이전 포스팅에서 vector function이 무엇인지 다뤘다. 여기서는 vector function의 미분과 적분의 형태가 어떻게 되는지 살펴볼 것이다. Derivatives of Vector Functions 미분의 형태는 아래와 같다. $$r'(t) =

Cylinders Cylinder는 Trace와 Ruling을 가지는, 3차원 공간 상의 면(surface)을 의미한다. 아래 그림을 보며, cylinder의 개념을 이해해보자. $$z = x^{2}$$ 그림은 위 식을 3차원 공간 속의 면으로 표현한, cylinder의 예 중 하나다. 이때, 이 cylinder의 Trace는 포물선(parabola) 형태이고, Ruling은 y 축에 평행한(parallel to y-axis) 직선이다. Quadric Surface Quadric Surface(이차 초곡면)는 이차다항식의 형태로 정의되는 surface이다. 이차초곡면의 형태의 경우, 식의 각 변수들을 k로 대체한 후, k의 범위에 따라 각각의 trace가 어떻게 변하는지 파악함으로써 그 형태를 짐작할 수..

내적(Dot Product) 내적은 두 벡터를 곱(multiplication)하는 연산이다. 내적은 scalar product 또는 inner product라고도 불린다. ### 정의 벡터 a, b의 요소가 주어졌을 때, 내적의 정의는 다음과 같다 $$a · b = a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}$$ 내적의 결괏값은 실수(real number)임을 기억하자. 또는 벡터 a와 b 사이의 각도가 주어졌을 때, 내적은 아래와 같이 계산할 수 있다. $$a · b = ||a||\;||b||\;cos \theta$$ 만약 두 벡터가 평행한 벡터라면, 두 벡터 사이의 각도는 0 또는 π 이다. 벡터의 내적공식을 변형하면 두 벡터 사이의 각을 구하는 것도 가능하다. $$cos\theta =..

Power Series power series란 다음과 같은 형태다. $$\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n} = c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+....$$ 이를 좀 더 보편적인 형식으로 표기하면, power series란 아래와 같은 급수를 의미한다. $$\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(x-a)^{n} = c_{0}+c_{1}(x-a)+c_{2}(x-a)^{2}+c_{3}(x-a)^{3}+....$$ 이러한 형태의 급수를 power series in (x - a) power series centered at a power series about a 라고 부른다. Convergence of Power Series 멱급수는 x의 범위에 따라 수렴..