파고파고

선형결합 - Linear Combination 선형결합이란 다음과 같은 벡터들의 결합을 의미한다. $$a_{1}x_{1}\;+\;a_{2}x_{2}\;+\;a_{3}x_{3}\;+.... = y$$ 여기서 x는 벡터를, a는 각각의 벡터에 곱해진 계수(coefficient)를 의미한다. 예를 들어보면 좀 더 이해가 잘 된다. 예 1) $$x\left[\begin{matrix}1\\0\\0\\ \end{matrix} \right] + y\left[\begin{matrix}0\\1\\0\\ \end{matrix} \right] + z\left[\begin{matrix}0\\0\\1\\ \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix}x\\y\\z\\ \end{matrix} \ri..

Power Series power series란 다음과 같은 형태다. $$\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n} = c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+....$$ 이를 좀 더 보편적인 형식으로 표기하면, power series란 아래와 같은 급수를 의미한다. $$\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(x-a)^{n} = c_{0}+c_{1}(x-a)+c_{2}(x-a)^{2}+c_{3}(x-a)^{3}+....$$ 이러한 형태의 급수를 power series in (x - a) power series centered at a power series about a 라고 부른다. Convergence of Power Series 멱급수는 x의 범위에 따라 수렴..

무한급수 급수(series)는 수열의 합이다. 무한급수는 수열을 n=1부터 무한대까지 더한 값이다. $$\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$$ 급수의 수렴판정법들 급수의 수렴과 발산을 test 하기위한 method들에는 여러가지가 있다. Test for Divergence 다음 조건을 만족시키지 못하면 수열 an의 급수는 발산(divergent)한다. $$\lim_{n\to\infty}a_{n} = 0$$ 단, 조건을 만족시킨다고 해서 무조건 급수가 수렴하는 것은 아니다. Integral Test 함수 f가 [1,∞)에서 continuous(1), positive(2), decreasing(3) function일 때 $$\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$$ 위 급수가 수렴(conver..

수열(sequence) 수열의 극한의 엄밀한 정의 - Precise Definition of a Limit of a Sequence 임의의 ε>0 (아주 작은 양수)에 대해서 적당한 자연수 N에 대해, Nn0에서 다음의 조건을 만족할 때, $$a_{n}≤b_{n}≤c_{n}\;\;and\;\; \lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty}c_{n} = L$$ 다음이 성립한다. $$\lim_{n\to\infty}b_{n} = L$$ 수열의 극한과 관련한 공통적인 이론들 이론1 $$\lim_{n\to\infty}|a_{n}| = 0 \; 이면 \; \lim_{n\to\infty}a_{n} = 0$$ 이론2 함수 f가 L에서 연속이고, 다음 조건을 만족할 때, $$\lim_{n\..

벡터의 의미 일반적인 의미 벡터는 크기와 방향을 갖는다. 크기(magnitude) + 방향(orientation, direction) *scalar(상수)는 magnitude만 있다. 선형대수에서의 의미 여러 개의 스칼라를 나열해 놓은 것으로 받아들일 수 있다. $$vector x = [x1, x2, x3,,,, xn]$$ $$(x ∈ R^n)$$ x1, x2, x3 등을 벡터의 element 또는 component라 하며, n개의 element로 이루어진 위와 같은 벡터를 통상적으로 실수집합으로 이루어진 n - dimensional(차원) vector 라고 부른다. 벡터의 표기 일반적으로 벡터는 아래와 같이 Column Vector Notation으로 표기한다. *Row Vector Notation은 ..

Linearity (선형성) 선형성의 조건 f(x), x1, x2 등이 다음의 조건을 만족할 때, 선형성을 지닌다고 말한다. 1. Superposition (중첩) $$f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2)$$ 2. Homogeniety $$f(ax) = af(x)$$ Superposition과 Homogeniety를 모두 만족할 때, 선형성(Linearity)을 지닌다고 말한다. $$f(ax1+bx2) = af(x1)+bf(x2)$$ 선형성의 예시 선형성(Linearity)은 함수 뿐 아니라 연산방법, 나아가 시스템에도 적용하여 말할 수 있다. 1. 원점을 지나는 직선 $$f(x) = mx$$ f(x) = mx+n와 같은 함수는 선형성을 지닌다고 하지 않는다. 2. 미분과 적분 (Differe..