Vector Function의 미분과 적분

이전 포스팅에서 vector function이 무엇인지 다뤘다.

여기서는 vector function의 미분과 적분의 형태가 어떻게 되는지 살펴볼 것이다.

 

Derivatives of Vector Functions

미분의 형태는 아래와 같다.

$$r'(t) = <f'(t), g'(t), h'(t)> = f'(t)i+g'(t)j+h'(t)k$$

 

※ Unit Tangent Vector

vector function의 미분형태, 즉 tangent vector 중 크기가 1인 벡터를 Unit Tangent Vector라고 부른다.

$$T(t) = {r'(t)\over ||r'(t)||}$$

 

Differential Rules

vector function의 미분형태를 보았다. 벡터의 미분과 관련한 여러 규칙들도 함께 살펴보자.

여기서 u, v는 벡터이고, c는 상수이며, f는 벡터가 아닌 함수다.

 

1) 
$${d\over dt}[u(t)+v(t)] = u'(t)+v'(t)$$
벡터의 미분은 덧뺄셈에 한해 분배가 가능하다.

 

2) 
$${d\over dt}[c·u(t)] = c·u'(t)$$
벡터에 상수가 곱해진 형태의 경우, 일반적인 미분의 방식과 동일하게 상수를 단순히 앞에 붙여주면 된다.

 

3) 
$${d\over dt}(f(t)·u(t)) = f'(t)u(t)+f(t)u'(t)$$
벡터에 함수가 곱해진 형태의 경우, 곱의 미분법과 유사하게, 순서대로 미분해주면 된다.

 

4) 
$${d\over dt}(u(t)·v(t)) = u'(t)·v(t)+u(t)·v'(t)$$
벡터끼리의 내적의 경우, 3과 유사하지만 단순 곱이 아닌 내적(dot product)임에 유의하자.

 

5) 
$${d\over dt}[u(t)×v(t)] = u'(t)×v(t)+u(t)×v'(t)$$
외적의 경우도 마찬가지다.

 

6) 
$${d\over dt}[u(f(t))] = f'(t)·u'(f(t))$$
벡터에 함수가 합성되어 있는 형태(Chain Rule)다.

 

+)  
||r'(t)|| = c (상수)라면, 모든 t에 대해서 r'(t) · r(t) = 0 이다. (수직이다.)

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Integral of Vector Functions

적분의 형태는 아래와 같다.

$$\int_{a}^{b} r(t)dt = <\int_{a}^{b} f(t)dt, \int_{a}^{b} g(t)dt, \int_{a}^{b} h(t)dt>$$