Differentials, Increment, and Derivatives

다변수함수에서 미분, 순간변화율과 관련한 여러 개념들과 규칙들을 살펴보자.

 

Differentials

$$dz = f_{x}(x, y)dx + f_{y}(x,y)dy$$

이전 포스팅에서, Linear Function과 굉장히 유사한 모습임을 확인할 수 있다.

 

Increments

$$△z = f(a+△x, b+△y)-f(a, b)$$

differential과 유사해보이지만, z값의 차를 의미한다는 점에서 구분이 반드시 필요하다.

 

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Chain Rules

합성함수의 미분이라 생각하면 된다.

아래 case들을 보면서 감을 잡아보자.

 

case 1)

$${dz \over dt} = {dz \over dx}·{dx \over dt}+{dz \over dy}·{dy \over dt}$$

 

case 2)

$${∂z \over ∂s} = {∂z \over ∂x}·{∂x \over ∂s}+{∂z \over ∂y}·{∂y \over ∂s}$$

 

Chain Rule의 성질들 - Implicit Differentiations

식을 보면서, 음함수 미분에서 편미분을 어떻게 계산하는지 익혀보자.

 

$${dy \over dx} = -{F_{x} \over F_{y}}$$

 

$${∂z \over ∂x} = -{F_{x} \over F_{z}}$$

 

$${∂z \over ∂y} = -{F_{y} \over F_{z}}$$

 

부호가 바뀌는 경우, 분자 분모가 바뀌는 경우에 유의해서 계산하도록 하자.

 

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Directional Derivatives

'특정 방향'에서의 순간변화율이라고 받아들이면 된다.

식을 보면서 계산방법을 익히자.

$$D_{u}f(x_{0}, y_{0}) = \lim_{h \to 0} {f(x_{0}+ha, y_{0}+hb)-f(x_{0}, y_{0})\over h}$$

방향이 u = <a, b>일 때는, Du가 아래와 같이 표현된다.

$$D_{u}f(x, y) = f_{x}(x, y)a+f_{y}(x, y)b$$

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Gradient Vector

$$∇f(x, y) = <f_{x}(x, y), f_{y}(x, y)>$$

각 변수에 대한 편미분들을 요소로 하는 벡터다.

 

이를 위 Directional Derivative에 적용하면, Du는 아래와 같이 다시 간단히 정리될 수 있다.

$$D_{u}f(x, y) = ∇f(x, y)·u$$

 

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Maximizing the Directional Derivatives

directional derivative가 가장 커질 때의 값은 아래와 같다.

$$|∇f(x)|$$

가장 커질 때 라고 함은, u가 ∇f(x)와 같은 방향일 때를 의미한다.

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+) ∇F · r'(t) = 0 이다.