극값, 최댓값과 최솟값

다변수함수의 최댓값과 최솟값을 찾는 방법을 알아보자.

 

Critical Point

최댓값, 또는 최솟값의 후보 지점들이라고 받아들이면 되겠다.

2변수 함수(x, y)의 경우, 다음 두 식을 만족하거나, 둘 중 하나가 존재하지 않을 때, 그 지점을 critical point라고 한다.

$$f_{x}(a, b) = 0 \&\ f_{y}(a, b) =0 $$

 

critical point라고 모두 극값을 가지는 지점들은 아니다.

위 그림의 경우, c = 0 이 critical point는 맞으나, 극값을 가지는 것은 아니다.

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Second Derivative Test

함수의 이계도함수를 구해 극값(Local minimum, Local maximum)의 위치를 파악하는 방법이다.

우선 함수의 도함수가, 다음을 만족한다고 두자.

$$f_{x}(a, b) = 0, \ f_{y}(a, b) = 0$$

즉, 해당 지점이 critical point 임이 확정된 상태에서 진행해야 한다.

 

 

극값인지 여부는 다음의 식을 기준으로 판단한다.

$$D = D(a, b) = f_{xx}(a, b)f_{yy}(a, b) - [f_{xy}(a, b)]^{2}$$

행렬로 표현하면 아래와 같다.

$$D = \left|\begin{matrix}f_{xx}&f_{xy}\\ f_{yx}&f_{yy} \end{matrix}\right|$$

 

경우를 나눠, 각각의 경우가 어떤 것에 해당하는지 보자.

1) D > 0 이고 f_xx (a, b) > 0 

해당 지점은 Local Minimum이다.

 

2) D > 0 이고 f_xx (a, b) < 0

해당 지점은 Local Maximum이다.

 

3) D < 0

해당 지점은 Saddle point 이다.

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최댓값과 최솟값

최댓값과 최솟값도, 극값을 구하는 방식과 다를 것이 없다.

각 극값과 범위의 양 끝값을 통틀어 가장 큰 값과, 가장 작은 값을 구하면 된다.