다변수 함수 (Functions of Several Variables)

독립변수가 둘 이상인 함수를 다변수함수(Functions of Several Variables)라고 한다.

 

다변수 함수의 예

아래 다변수함수의 예시들을 살펴보면서 다변수함수에 대한 감을 잡아보자.

 

체감온도 함수

W(T, v)

실제 온도(T)와 바람의 속도(v)를 변수로 하여 체감온도를 구할 수 있는 함수다.

 

그래프

z = f(x, y),
where (x, y) in D

독립변수가 둘이다.

 

선형 함수(Linear Function)

z = ax + by + c
또는
ax + by - z + c = 0

역시 독립변수가 둘이다.

 

Level Curves

f(x, y) = k,
where k = 상수

이 Level Curve들을 합쳐놓은 것이 Contour Map이다.

---

다변수 함수의 극한

$$\lim_{(x, y)\to something}f(x, y)$$

위 다변수 함수의 극한이 존재하는지 확인하는 방법은, 여러 방향의 극한값이 같은지/다른지 보는 것이다.

아래처럼, 한 변수를 고정하거나, 특정 직선/곡선에서의 여러 극한값을 구해 비교하는 것이 가능하다.

x = 0
y = 0
x = y
x = -y
...

---

Partial Derivatives - Clairaut's Theorem

다변수함수의 미분에서, 미분순서가 관계없어지는 조건에 대한 이론을 살펴보자.

$$f_{xy}(a, b) = f_{yx}(a, b)$$

 

f가 D위에 정의되어 있고, (a, b)를 포함한다고 하자.

다음 두 도함수가 모두 D에서 연속일 때, 두 도함수는 같다.

$$f_{xy}, \ f_{yx}$$