선과 면을 여러 형태의 방정식으로 표현하는 방법을 알아보자.
Lines: 선
선 L을 여러 방정식으로 표현해보자.
3차원 공간을 가로지르는 선 L과, L 위의 임의의 점 P, P0가 있다고 하자.
선을 방정식으로 표현하기 위해 아래 가정이 필요하다.
- r, r0: 점 P와 P0 각각의 위치벡터(position vector)
- a: 점 P0에서 P까지 잇는 벡터
- v: 선 L의 방향벡터(direction vector). a와 평행하다.
벡터합의 Triangular Law에 의해, P의 위치벡터 r은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
$$r = r_{0}+a$$
이 식을 출발로 L을 여러 방정식으로 표기할 것이다.
(1) Vector Equation
벡터 a와 v가 평행한 벡터이기 때문에, 상수 t를 이용해 a를 다음처럼 나타낼 수 있다.
$$a = tv$$
그림을 보면 좀 더 잘 이해할 수 있다. 벡터 v 방향의 벡터를 t배 한 것이 a라고 생각하면 된다.
a 대신 tv를 넣어 기본식을 다시 써보자.
$$r = r_{0}+tv$$
이것이 선 L의 vector equation 이다.
vector equation은 r0에 따라 달라질 수 있으므로 유일하지 않다.(not unique)
(2) Parametric Equations
Vector Equation을 요소가 드러나도록, 각 변수에 대해서 표기해보자.
v = <a, b, c>라고 했을 때,
$$r = r_{0}+tv$$
$$<x,\;y,\;z> = <x_{0}+ta,\;y_{0}+tb,\;z_{0}+tc>$$
$$x = x_{0}+at\;\;y = y_{0}+bt\;\;z = z_{0}+ct$$
이것이 선 L의 parametric equations 이다.
parametric equation도 마찬가지로 r0에 따라 달라질 수 있으므로 유일하지 않다.(not unique)
(3) Symmetric Equations
parametric equation을 t에 대해서 정리해 표현해보자.
$$x = x_{0}+at\;\;y = y_{0}+bt\;\;z = z_{0}+ct$$
$$t = {x - x_{0}\over a}\;\;t = {y - y_{0}\over b}\;\;t = {z - z_{0}\over c}$$
$${x - x_{0}\over a}={y - y_{0}\over b}={z - z_{0}\over c}$$
이것이 선 L의 symmetric equations이다.
* v = <a, b, c>라고 했다. 방향벡터 v의 요소인 a, b, c는, 직선이 지닌 각 좌표로의 방향을 나타낸다.
a, b, c중 하나가 0이 될때, 여전히 symmetric equation을 이용해 L을 표현할 수 있다.
a = 0이라고 치자. x축에 대한 방향이 0이 되었다.
$$x = x_{0}+0t$$
$$x = x_{0}$$
따라서, L은 다음와 같이 나타내어진다.
$$x = x_{0},\;\;\; {y - y_{0}\over b} = {z - z_{0}\over c}$$
이때는 L이 더 이상 선이 아니며, 이 경우 vertical plane에 해당한다.
### 선분의 방정식 (line segment equation)
점 P0과 P1을 지나는 선분의 방정식은 다음과 같이 구한다.
먼저 아래 가정을 두자.
- r0, r1: 점 P0과 P1에 대한 위치벡터(position vector)
$$r = r_{0}+t(r_{1}-r{0})\;=\;(1\;-\;t)r_{0}+tr_{1}$$
방향벡터 v 자리에 위치벡터의 차가 들어갔다.
따라서, 위치벡터 r0과 r1의 끝(tips)을 잇는 선분의 방정식은 아래와 같이 정리할 수 있다.
$$r(t) \;=\; (1\;-\;t)r_{0}+tr_{1}\;\;\;where\;\;0≤t≤1$$
### scew lines (꼬인 위치의 선)
꼬인(scew) 선이 되기 위해서는 다음의 조건을 만족해야 한다.
1. 평행하지 않음 (Not Parallel)
2. 접점이 없음 (Do Not Intersect)
(1) 평행하지 않기 위해서
두 직선의 방향벡터 v가 평행(parallel)하지 않아야 한다.
즉, 두 직선의 방향벡터 v1, v2의 외적이 0이 아니어야 한다.
또는 proportional vector가 아니어야 한다.
(2) 접점이 없기 위해서
두 직선의 연립방정식을 만족하는 점이 존재하지 않아야 한다.
이렇게 꼬인 위치에 있는 직선을 때로는 '같은 평면에 있지 않다'라고 표현하기도 한다.
Planes: 평면
평면또한 여러 방정식의 형태로 표현할 수 있다.
직선과 마찬가지로 몇가지 가정이 필요하다.
3차원 공간을 가로지르는 평면과, 그 평면 위의 두 점 P, P0이 있다고 하자.
- r, r0: 점 P와 P0 각각의 위치벡터(position vector)
- n: 평면에 수직(orthogonal)인 벡터. "normal vector"라고 부른다.
이 normal vector가 평면과 직교한다는 성질에서 출발해 여러 방정식으로 평면을 표기할 것이다.
(1)Vector Equation of the plane
n이 평면과 직교한다는 것은, 위치벡터 r과 r0을 잇는 벡터인 (r-r0)과도 직교한다는 것을 의미한다.
$$n·(r-r_{0}) = 0$$
또는,
$$n·r = n·r_{0}$$
위 두 개의 식을 평면의 vector equation이라고 한다.
(2) Scalar Equation of the plane
Vector Equation을 요소가 드러나도록, 각 변수에 대해서 표기해보자.
n = <a, b, c>라고 했을 때,
$$n·(r-r_{0}) = 0$$
$$<a,b,c>·<x-x_{0}, y-y_{0}, z-z_{0}> = 0$$
$$a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0}) = 0$$
또는,
$$ax+by+cz = ax_{0}+y_{0}+z_{0}$$
위 두 개의 식을 평면의 scalar equation이라고 한다.
(3) Linear Equation of the plane
아래의 scalar equation을 조금만 변형해 linear equation을 만들어보자.
$$ax+by+cz = ax_{0}+by_{0}+cz_{0}$$
$$-(ax_{0}+by_{0}+cz_{0}) = d$$
$$ax+by+cz +d = 0$$
위 방정식을 평면의 linear equation 이라고 한다.
단, a, b, c 모두가 0이 아니어야 평면을 나타내는 식이 된다.
### 평면의 평행(parallel)
두 평면이 평행한지 여부를 판단하는 기준은, 각각의 normal vector들의 평행여부이다.
normal vector가 서로 proportional함을 보인다면, 그 평면들의 평행을 결론지을 수 있다.
응용하면, 두 평면의 normal vector들이 이루는 각은, 두 평면이 이루는 각과 같음을 알 수 있다.
두 평면이 이루는 각을 묻는 문제를 풀 때 떠올리도록 하자.
### 두 평면의 교선 방정식 구하기
두 평면이 평행하지 않고 교차할 때, 그 방정식을 구할 수 있다.
두 평면의 교선의 "방향벡터" v는, 두 평면의 normal vector 각각과 모두 직교한다.
위의 평면의 평행에서 사용한 그림을 보면 이해에 도움이 된다.
$$v·n_{1} = 0$$
$$v·n_{2} = 0$$
외적의 개념을 꺼내보자. 두 벡터에 모두 직교하는 벡터가 외적이라고 했다.
따라서, 교선의 방향벡터 v에 대해 아래의 결론을 내릴 수 있다.
$$v = n_{1}×n_{2}$$
방향벡터를 구했다면, 직선 위의 한 점(P0) 좌표를 구한 후, 일반적으로 L의 방정식을 구할 때의 과정을 따라가면 된다.
3차원 거리 구하기 Distance
### 평면과 점 사이의 거리
평면의 방정식과, 평면 위에 있지 않은 점 P1의 좌표가 주어졌을 때, 평면으로부터 점까지의 거리는 다음과 같이 구한다.
$$평면:\;\; ax+by+cz +d = 0$$
$$P_{1}(x_{1}, y_{1}, z_{1})$$
$$D = {|ax_{1}+by_{1}+cz_{1}|\over \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$$
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