행렬의 지수, 행렬의 미분

거듭제곱 지수가 "행렬"의 형태일 경우, 계산을 어떻게 하는지 알아보자.

 

행렬의 지수

 

1.

$$e^{A}$$

자연상수 e의 지수가 행렬 A인 경우, 다음의 분해식을 활용하면 e의 A거듭제곱을 찾을 수 있다.

$$e^{A} = Se^{\Lambda}S^{-1}$$

단, 이때 A는 분해가능(diagonolizable)해야한다.

 

2.

$$a^{A}$$

자연상수가 아닌 임의의 상수 a의 A 거듭제곱은 어떻게 찾을까.

$$a^{A} = S·(e^{\log a})^{\Lambda}·S^{-1} = S·a^{\Lambda}·S^{-1}$$

e 대신 a가 들어간 것과 같음을 확인하자.

 

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행렬의 미분

같은 맥락에서, 지수가 행렬의 형태인 식을 미분하면 어떻게 되는지도 함께 살펴보자.

$${d\over dt} e^{tA} = A·e^{tA}$$

일반적인 미분의 방식과 동일한 것을 확인하자.