Complex Matrix와 Hermite Matrix

지금까지 행렬의 요소로 사용된 수는 실수 범위에 포함되었지만, 당연히 실수뿐 아니라 복소수 또한 행렬의 요소로서 사용될 수 있다.

그런 의미에서 Complex Matrix와, Hermite Matrix에 대해 알아보자.

 

Complex Conjugate (켤레복소수)

먼저 복소수, 켤레복소수의 개념을 짚고 넘어가자.

$$z = a+jb$$

복소수는, 위처럼 실수부와 허수부로 나뉘어 있는 수를 의미한다. (여기서 j의 제곱은 -1이다.)

켤레복소수는, 복소수에 대해 다음과 같은 형태를 뜻한다.

$$\overline z = a-jb$$

복소수와 계수는 같으나, 허수부의 부호만 반대인 수를 뜻하는 것으로 해석할 수 있겠다.

 

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복소수 벡터(Complex Vector)와 그 특징

요소가 켤레복소수 관계인 두 벡터를 복소수벡터라고 한다.

$$z = \left[\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{matrix}\right], \overline z=\left[\begin{matrix}\overline x_{1}\\ \overline x_{2}\\ \overline x_{3}\end{matrix}\right]$$

 

벡터의 크기에 관해, 복소수 벡터는 다음과 같은 특징을 가진다.

$$||z||^{2} = ||x_{1}||^{2}+||x_{2}||^{2}+||x_{3}||^{2}+...+||x_{n}||^{2}$$

$$=x_{1}\overline x_{1}+x_{2}\overline x_{2}+x_{3}\overline x_{3}+...+x_{n}\overline x_{n}$$

 

복소수 벡터의 내적의 특징도 몇 가지 알아보자.

1) 복소수 벡터의 내적은 교환법칙이 성립하지 않는다.

$$(\overline x)^{T} · y = (x)^{H} · y ≠ (y)^{H} · x$$

 

2) 내적이 실수(real number)이면 교환법칙이 성립한다.

$$\overline{x^{H}·y} = y^{H}·x = (x^{H}·y)^{H}$$

 

3) 내적이 0이면 수직(orthogonal)이다.

$$x^{H}·y = 0$$

$$y^{H}·x = 0$$

 

4) 분해될 경우 계산 순서가 바뀐다.

$$(AB)^{H} = B^{H}·A^{H}$$

 

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Hermition Matrix

에르미트 행렬은 아래의 조건을 만족하는 A를 의미한다.

$$A^{H} = A$$

A의 전치행렬과, A가 동일할 경우  symmetric matrix라고 부르는 것과 비슷하다.

 

에르미트 행렬이 되기 위한 조건은 다음과 같이 정리할 수 있다.

$$a_{ij} = \overline{a_{ji}}$$
$$a_{ii} = 실수(real \ number)$$

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에르미트 행렬의 특징

기억해둘만한 에르미트 행렬의 특징을 아래에 정리해두었다.

 

1) x^H · (A x) 는 실수(real number)이다.

A^H = A이기 때문에, 다음의 계산을 통해 증명 가능하다.

$$(x^{H}Ax)^{H} = x^{H}a^{H}x = x{H}(Ax)$$

 

2) 모든 eigen value는 실수이다(real number).

1번을 변형하면 증명할 수 있다.

$$x^{H}Ax = x^{H}\lambda x = \lambda x^{H}x = \lambda||x||^{2}$$

 

3) Eigen vector들이 Orthogonal하다.

단, 각 eigen vector들은 서로다른 eigen value들로부터 계산되어야 한다.

 

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Complex Matrix의 분해(Decomposition)

complex matrix도 분해가능하다. 이전 포스팅의 행렬의 대각화와 유사하다고 보면 된다.

아래의 식을 따라가며 익혀보자.

 

$$A = S\Lambda S^{-1} = Q\Lambda Q^{T}$$

요소의 단위로 자세히 쓴다면 아래와 같을 것이다.

$$=\left[\begin{matrix}|&|&|&...&|\\ e_{1}&e_{2}&e_{3}&...&e_{n}\\ |&|&|&...&|\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}\lambda_{1}&...&0\\ ...&\lambda_{2}&...\\ 0&...&\lambda_{n}\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}-&e_{1}^{H}&-\\ -&e_{2}^{H}&-\\ ...&...&...\\ -&e_{n}^{H}&-\end{matrix}\right]$$

$$= \lambda_{1}e_{1}e_{1}^{H}+\lambda_{2}e_{2}e_{2}^{H}+\lambda_{3}e_{3}e_{3}^{H}+...$$